A Mean Field Theory of Nonlinear Filtering

We present a mean field particle theory for the numerical approximation of Feynman-Kac path integrals in the context of nonlinear filtering. We show that the conditional distribution of the signal paths given a series of noisy and partial observation data is approximated by the occupation measure of a genealogical tree model associated with mean field interacting particle model. The complete historical model converges to the McKean distribution of the paths of a nonlinear Markov chain dictated by the mean field interpretation model. We review the stability properties and the asymptotic analysis of these interacting processes, including fluctuation theorems and large deviation principles. We also present an original Laurent type and algebraic tree-based integral representations of particle block distributions. These sharp and non asymptotic propagations of chaos properties seem to be the first result of this type for mean field and interacting particle systems. Key-words: Feynman-Kac measures, nonlinear filtering, interacting particle systems, historical and genealogical tree models, central limit theorems, Gaussian fields, propagations of chaos, trees and forests, combinatorial enumeration. ∗ Centre INRIA Bordeaux et Sud-Ouest & Institut de Mathématiques de Bordeaux , Université de Bordeaux I, 351 cours de la Libération 33405 Talence cedex, France, [email protected]. † CNRS UMR 6621, Université de Nice, Laboratoire de Mathématiques J. Dieudonné, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France. ‡ CNRS UMR 6621, Université de Nice, Laboratoire de Mathématiques J. Dieudonné, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2, France. in ria -0 02 38 39 8, v er si on 3 5 Fe b 20 08 Une théorie champ moyen du filtrage non linéaire Résumé : Nous exposons ici une théorie particulaire de type champ moyen pour la résolution numérique des intégrales de chemins de Feynman utilisées en filtrage non linéaire. Nous démontrons que les lois conditionnelles des trajectoires d’un signal bruité et partiellement observé peuvent être calculées à partir des mesures d’occupation d’arbres généalogiques associés à des systèmes de particules en interaction. Le processus historique caractérisant l’évolution ancestrale complète converge vers la mesure de McKean des trajectoires d’une châıne de Markov non linéaire dictée par l’interprétation champ moyen du modèle de filtrage. Nous passons en revue les propriétés de stabilité et les résultats d’analyse asymptotique de ces processus en interaction, avec notamment des théorèmes de fluctuations et des principes de grandes déviations. Nous exposons aussi des développements faibles et non asymptotiques des distributions de blocs de particules en termes combinatoire de forêts et d’arbres de coalescences. Ces propriétés fines de propagations du chaos semblent être les premiers résultats de ce type pour des systèmes de particules en interaction de type champ moyen. Mots-clés : Mesures de Feynman-Kac, filtrage non linéaire, systèmes de particules en interaction, processus historique et modèles d’arbres généalogiques, théorèmes de la limite centrale, champs gaussiens, propriétés de propagations du chaos, combinatoire d’arbres et de forêt. in ria -0 02 38 39 8, v er si on 3 5 Fe b 20 08 A Mean Field Theory of Nonlinear Filtering 3